L'algorithme d'Euclide est une suite de divisions euclidiennes et produit donc une suite décroissante de restes. Une question naturelle est : Est-ce que cette suite décroît régulièrement? Si l'algorithme effectue p itérations, quelle est la taille du reste au bout d'un nombre \delta p d'itérations? Le reste est de taille n au départ, et de taille nulle à la fin; on s'attend à ce que la taille du reste soit à peu près égale à (1-\delta) n au bout de \delta p itérations. Plus généralement, on s'attend à ce que le reste ait une taille qui diminue d'environ \delta n bits en \delta p itérations. Nous formalisons cette assertion de régularité et nous la prouvons dans un cadre assez général. Ce résultat intervient de manière cruciale dans trois problèmes a priori bien différents:

Quand \delta est constant, nous montrons une forme forte de ce résultat, et nous en déduisons une loi asymptotiquement normale pour le logarithme des restes au bout de \delta p itérations. Travail commun avec Loick Lhote.
Nous effectuons l'analyse en moyenne du PGCD fondé sur la méthode diviser pour régner: dans ce cas-là, \delta doit tendre vers 0 avec n, et nous montrons le résultat de régularité pourvu que \delta(n) soit plus grand que 1/\sqrt n. La présentation de cet algorithme est faite par Benoît Daireaux (dans une conférence séparée), et le travail présenté est un travail commun avec Benoît Daireaux, Loick Lhote, Véronique Maume-Deschamps.
Nous élucidons le comportement probabiliste des progressions arithmétiques; nous résolvons un problème posé par V.I~Arnold. Travail commun avec Eda Cesaratto et Alain Plagne.

La méthode générale utilise des opérateurs de transfert, et des méthodes à la Dolgopyat.

Nous étudions ici une variante de l'algorithme de Knuth-Schönhage de calcul de PGCD (entier). Cet algorithme utilise de manière récursive une stratégie Diviser pour Régner pour accélérer le calcul de la suite des quotients engendrée par l'algorithme d'Euclide et a été le premier algorithme de pgcd de complexité sous-quadratique. Nous effectuons ici une analyse en moyenne précise des principales grandeurs intervenant au cours d'une variante de cet algorithme dans laquelle la récursion est interrompue plus tôt. Dans ce cas, les algorithmes utilisés aux feuilles de l'arbre des appels récursifs sont des algorithmes d'Euclide interrompus dès que la taille du reste a perdu \delta n bits (pour une taille initiale de n bits) , où \delta est supérieur à 1/\sqrt n, ce qui nous permet d'utiliser les résultats présentés par Brigitte Vallée dans sa conférence. C'est un travail commun avec Loïck Lhote, Véronique Maume Deschamps et Brigitte Vallée. Cette étude est basée sur une analyse fine des algorithmes d'Euclide interrompus.

N balls are distributed among U urns according to some distribution G. We then have to place one more ball into one urn with the goal of maximizing the probability that it will be the left-most urn containing a \textit{single }ball. How should we proceed? This is the essence of an interesting problem posed by a German real-estate company. Here only V is known (upper-price limit), whereas neither G (the way in which participants choose their offer) nor N (number of offers) is known. Hence we face a two-sided problem. On the one side we would like to choose a modelization which is convincing in terms of the expected behaviour of participants. On the other side, we want to solve an optimization problem, that is, the modelization must be tractable and allow for asymptotic expansions. Our attack is based on arguing that G should be (essentially) geometric and that some information on \E(N) and \Var(N) should be available before long. Under certain conditions on possible dependencies of G and N, we can give explicit answers.

Le modèle étudié peut se décrire comme une suite aléatoire de pièces soumises à la gravitation et s'empilant suivant le principe du jeu de Tetris. Les pièces sont signées et deux pièces consécutives de signes opposés s'annulent. Ce même modèle peut également être vu comme une marche aléatoire sur un groupe de trace (ou groupe partiellement commutatif libre, ou groupe d'Artin à angle droit). On s'intéresse à la loi de l'empilement infini limite, ou encore mesure harmonique de la marche. Ainsi qu'à la vitesse de croissance de l'empilement, ou encore vitesse de fuite de la marche. On montre comment déterminer `explicitement' ces quantités, pour les modèles les plus simples et à l'aide de techniques de marches aléatoires sur les groupes.